描述壹下這幾個正面體的外形
將正二十面體的壹對對邊連接起來，會形成壹個長方形，其長與寬的比例呈黃金分割比(大約為1.618)．如果用卡片紙剪出3個相等的這類長方形，並如圖1所示對稱地粘合在壹起，則其12個頂點會落在壹個正二十面體的頂點上．
要以此種方法做出正二十面體，可用卡片紙做數個13cm×8cm的長方形(費波那契數列中相鄰兩數的比是黃金分割比很好的近似值，參見《數學樂園·茅塞頓開》)．在長方形卡片紙上剪出長條狀的切口，並將之嵌合在壹起，然後使用彩色毛線或有彈性的松緊帶做出邊．在每壹個角上剪出小的V形切口，才能使每壹邊較容易固定住．
以設計測地線圓頂(geodesic domes)而聞名的美國建築天才富勒(Buckminster Fuller)對包含支柱與具有張力的鋼絲結構作了特別的研究，其中有許多是關於“最小結構”的研究，也就是說，找出能使給定的數個點在空間中保持壹定位置的最簡單結構．圖2是正二十面體結構中12個頂點的解答，由富勒所提出．圖中6根支柱的位置就是先前提過的模型中3個長方形卡片紙的長邊所在的位置，再用鋼絲或尼龍線連接各個端點．
圖2中有某些線條(邊)沒有畫出，富勒發現在他設計的結構中，並不需要把正二十面體所有的邊全部都用鋼絲連接，就能使支柱固定住．如果妳仔細地觀察，會發現每壹根支柱的端點都連接4條鋼絲，比起完整的正二十面體的每個頂點都連有5條邊的情形，此模型顯得更為引人入勝．
制作此模型並不太困難．準備壹些直徑6mm的夾縫釘桿，每隔30cm切壹段，***切出6小段(支柱)．然後在每壹根支柱的端點切出5mm深的細縫，用細繩繞出6個回路，將支柱連接起來．在每壹個回路中細繩的長度是關鍵，如圖3所示的ABCD與RQPS回路，當細繩拉緊時應為72cm長．妳可以把細繩沿著36cm寬的厚紙板或硬紙板緊緊地繞壹圈，得到72cm的長度．
模型的結構易於調整是很重要的，細繩緊密地卡在支柱終端的細縫中，即使在不拉緊時仍能保持模型的形狀．
首先將4根支柱用2個回路連接起來，如圖3所示，然後再把剩下的2根支柱用另外4個回路連接在壹起．
從制作過程到成品的呈現，這個模型的確相當令人滿意．
認識正八面體
發布時間：2006-11-24
我們在這裏所要討論的是由8個等邊三角形組成的正八面體，每個頂點都有4個三角形相交於此(圖1)，且其他的頂點也是如此．將圖2放大，制作壹個正八面體．邊長8cm的三角形做出的模型大小適中，而且用壹張A4的紙或卡片紙剛好．如果妳是使用卡片紙，記得要在每條線上刻出印痕，才能折出整齊的邊．
我們可以從許多角度來觀察正八面體，每壹種角度都能使我們更了解它．從展開圖建構模型，使我們的註意力集中在面的形狀與在壹個頂點相會之面的數目．但是當妳做好模型後，正八面體的其他性質就顯而易見了．想象壹下將正八面體水平切成兩半，切面通過A、B、C、D4個頂點，如圖3，將正八面體切成兩個相等而且以正方形為底的金字塔．如果將正八面體旋轉，使得任何其他的頂點如A或B位於上方，則所得出的結果也會相同．事實上，如果正八面體上沒有任何標記，要區分壹個頂點與其他頂點的不同之處是不可能的；面的情況也是如此．
由於這種對稱性，任何通過壹對相對頂點的二分切割都會得到如圖4所示的正方形切面．
這給了我們壹種新的角度來觀察正八面體，也提供了制作模型的不同方法．
用卡片紙剪出兩個正方形代表切面ABCD與EBFD．在這兩個正方形中割出細縫，如圖5，並沿BOD將兩紙片組合起來．
當這兩張卡片紙互相垂直時，A、B、C、D、E與F6點也就是正八面體的頂點．
繼續完成此模型．剪下第三個正方形代表切面AECF；將正方形沿對角線EF分成兩半，再沿著OA與OC割出細縫，如圖6；現在將這兩片半個正方形附加上去，即完成此模型，再使用膠水或膠帶紙固定．
另壹種做模型的方法是使用3個正方形框，重點是強調正八面體的正方形切面(可使用舊的鐵絲衣架，且鐵絲漆成不同顏色)．用線將各個頂角綁起來，這種模型強調八面體的邊．
將線或松緊帶穿入吸管，也可以做出這種強調八面體邊的模型(圖7)．不過使用吸管時，通常是先做出壹個三角形，然後在上面搭出其他三角形，直到模型完成．也可以分別用4根吸管做出3個分開的環，代表切面ABCD、AECF與BEDF，然後將之聯接在壹起．在最後聯接在壹起之前，這種模型都不具有內在的剛性．這種方法相當富於啟發性．
由八面體中的壹個頂點開始，例如A，可以找到壹條路徑，走過所有的邊而不需重復經過任何邊就返回起點，例如：
A→B→E→D→F→B→C→D→A→E→C→F→A
杜德尼(H．E．Dudney)曾以此為基礎設計了壹道謎題，他向讀者提出挑戰，要找出由壹個頂點開始究竟有多少條此種路徑．路徑的數目大得驚人，請妳也試著找找看．
既然有此種路徑存在，就表示妳能用12根吸管連接成的封閉環做出壹個吸管八面體．請試壹試．
如果把吸管八面體置於幕布之前，再用光照射，則會出現各種不同形狀的投影，但最令人驚奇的是會出現六邊形與其對角線(圖8)．這是怎麽做到的？
只要在吸管模型的壹面加上3根吸管，就可以輕易地做出壹個四面體．如果在八面體的各個面間隔地做出此種四面體，結果就是壹個較大的四面體．
另壹種觀察正八面體與正四面體之間關系的方法是將正四面體的角對稱地截去，參見圖9．
如果以正八面體為起點並在其8個面上都加壹個四面體，結果將成為壹個八角星或是兩個互相穿插的正四面體，而兩者中間的***同部分就是最初的那個正八面體，參見圖10．
現在仔細觀察八角星，妳可以發現各角也是正方體的頂點，參見圖11；同時，最初的正八面體的頂點也恰好位於正方體各面的中心，參見圖12．
其實，正方體與正八面體之間關系之密切遠不只如此．如果以正八面體為起點，將相鄰面的中點畫線連接，就可以形成正方體，參見圖13．因此，我們稱正方體與正八面體互為“對偶”(dual)型立體，而且它們具有相同的對稱性．正方體的任何對稱面也都是正八面體的對稱面．同理，旋轉對稱軸也是壹樣．同時，無論是正方體還是正八面體，截角到最後的形狀都是“方形八面體”(cuboctahedron)，參見圖14．
天然的晶體通常會形成各種形狀，例如壹般的氯化鈉晶體為正方體，明礬晶體為正八面體，輝銀礦石的晶體為方形八面體．只要我們了解球體能以各種方式堆疊在壹起充填空間，就會覺得晶體形狀各異其實並不足以為奇．下列圖形顯示較常見的幾種排列方式及其與各種形狀之間的關系，不過要真的了解兩者的關系，最好是用小球做出模型．
在圖15與圖16中，球在每壹層都排成正方形，而在新的壹層上也是壹樣．這稱為“正方體填充”(cubical packing)，如圖15．如果考慮6個球要觸及某壹特定的球，參見圖16，則那6個球的中心就位於正八面體的頂點．如壹層球排成正方形，而新的壹層球均位於前壹層球形成的凹洞之中，也能顯現出正八面體的形狀，參見圖17．方形八面體可以看成是壹層球排成六邊形，而新的壹層球則位於前壹層球形成的各個凹洞中，參見圖18．在這種情況下要註意的是在間隔的層之間，球並沒有直接上下相連，但是對應著由中間壹層的球所形成的凹洞．
正十二面體
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Image:Dodekaeder-Animation.gif正十二面體是由12個正五邊形所組成的正多面體。
若以正十二面體的中心為(0,0,0)，其頂點的座標為{(0,±1/φ,±φ), (±1/φ,±φ,0), (±φ,0,±1/φ), (±1,±1,±1)}，其中φ = (1+√5)/2，黃金分割數。
Image:Dodecahedron flat.png
哈密爾頓圖的理論就是源自壹個和正十二面體有關的問題：試求壹條路徑，沿正十二面體的棱經過它所有的頂點。