f(x)是域F上的首壹不可約多項式，域的特征Char F = 0,設E是包含F的代數封閉域，由於f(x)在域F上不可約，
大致說明如下;
f(x)有重根 <=> f與f'不互素（即有次數大於0的公因式）
f'為f的形式導數（這樣可以避免引入極限的概念，省去很多討論）。
當char F =0時，f不可約 => f'≠0 （f的次數至少為2，導函數不會恒為0），
由於f不可約，deg f' <deg f，故f, f'互素（若不然，設(f, f')=g，f'≠0，g|f'，則0<deg g≤deg f' < deg f，故deg g<deg f，因為g|f，g是f的壹個真因子，這與f不可約矛盾），於是f無重根。
當char F ≠0時，f不可約 ≠> f'≠0 ，
這樣當f'=0時，f與f'不互素（f|f'，公因子為f），f有重根。
“f不可約 ≠> f'≠0 ”解釋如下，
設p = char F>0，f(x)=∑c_i * x^i (i=0 .. n)，則f'(x)=∑i*c_i * x^i (i=1 .. n)，
當p不能整除i時，令c_i=0；p|i時，i=0；故總有i*c_i=0。即有f≠0，但f'=0。
具體例子如下：
設F=F_p=Z/(pZ)，p=char F，u是F上的超越元，K=F(u)為F的單擴域（次數無窮大），則f(x)=x^p-u∈K[x]，取f(x)的壹個根α=u^(1/p)，（α當然不在F、K中，在K的代數封閉擴域中），則f(x)=x^p-u=x^p-α^p=(x-α)^p有p重根α，（在F_p的擴域上有(a+b)^p=a^p+b^p），但是f(x)在K[x]上不可約。
（若f(x)在K[x]上可約，即f(x)=g(x)*h(x)，g(x)、h(x)∈K[x]，設g(x)=(x-α)^l，h(x)=(x-α)^s，1≤l,s≤p-1，l+s=p。但是g(x)的常數項為(-α)^l=(-1)^l*α^l=(-1)^l*u^(l/p)，1≤l≤p-1，l/p不是整數，由K的定義，u^(l/p)不在K中，於是g(x)不在K[x]中，這與g(x)∈K[x]矛盾）