2012年江蘇高考數學第19題第二問幾何證明

在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=√5，BC=4，在A1在底面ABC的投影是線段BC的中點O。

（1）證明在側棱AA1上存在壹點E，使得OE⊥平面BB1C1C，並求出AE的長；

（2）求平面A1B1C與平面BB1C1C夾角的余弦值。

（1）證明：∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=√5，BC=4，在A1在底面ABC的投影是線段BC的中點O

∴AA1//面BB1C1C==>面A1AO⊥面ABC==>BC⊥面A1AO==>面A1AO⊥面BB1C1C

過O作OE⊥AA1交AA1於E

∴OE⊥面BB1C1C

連接OA，OA=√(AB^2-OB^2)=1

A1O=√(AA1^2-OA^2)=2

OA^2=AE*AA1==>AE=√5/5

（2）解析：求平面A1B1C與平面BB1C1C夾角的余弦值。

過C1作C1F⊥B1C交B1C於F，過F作FG⊥B1C交A1C於G，連接GC1

∴∠GFC1為平面A1B1C與平面BB1C1C夾角的平面角

∵BB1C1C為矩形，∴∠CC1B1=π/2

在⊿CB1C1中，B1C=√(B1C1^2+CC1^2)=√21

B1C1^2=B1F*B1C==>4^2=B1F*√21==>B1F=16/√21

FC1=√(B1C1^2-FB1^2)=?4√5/√21?

由(1)A1O=2，OC=2，∴A1C=2√2

在⊿A1CB1中

Cos∠A1CB1=(A1C^2+B1C^2-A1B1^2)/(2A1C*B1C)=(8+21-5)/(2*2√42)=6/√42

CF=√21-16/√21=5/√21

tan∠A1CB1=GF/CF=√6/6==>GF=5√14/42?

Cos∠A1CB1=CF/CG=6/√42==>CG=5/√21*√42/6=5√2/6

在⊿A1CC1中

Cos∠A1CC1=(A1C^2+C1C^2-A1C1^2)/(2A1C*C1C)=(8+5-5)/(2*2√10)=2/√10

CG=5√2/6

GC1=√(GC^2+CC1^2-2*GC*CC1*cos∠A1CC1)=√(50/36+5-2*5√2/6*√5*2/√10)

=√(55/18)?

在⊿GFC1中

Cos∠GFC1=(GF^2+FC1^2-GC1^2)/(2GF*C1F)=(25/126+80/21-55/18)/(2*5√14/42*√80/√21)

=√30/10