隨機過程的基本概念
在客觀世界中有些隨機現象表示的是事物隨機變化的過程，不能用隨機變量或隨機矢量來描述，而需要用壹族無限多個隨機變量來描繪，這就是隨機過程。
圖1.14
隨機變量是指在同壹條件下，事件每次發生的結果是隨機的、不確定的，而隨機過程是指在同樣條件下，事物發生的某壹過程是隨機的、不可準確預知的。壹個過程可能是由無限多個隨機變量構成，而隨機過程是由壹族過程（隨機出現的）構成的。如對某壹個鉆孔的水位進行連續觀測，以 H0（t）來表示水位，在第壹個水文年觀測到的水位曲線為 H1（t），…，在第 n 個水文年裏觀測到的水位為Hn（t），每個水文年裏所得到的樣本曲線都是隨機的（圖 1.14）。{H（t），t∈（0，∞）}，怎樣理解為由壹族隨機變量構成的呢?我們固定某壹觀測時間 t0，考察 H（t）在每年 t0時刻的水位值 H1（t0），H2（t0），…，Hn（t0），顯然H（t0）是壹個隨機變量，而當 t 變化時，H（t）是壹族隨機變量。因此，H（t）是壹個隨機過程。
同樣的道理，壹個地區大氣降水的過程，某條河流的流量或河水位變化過程都可看成是壹個隨機過程。由此可見，設{X（t），t∈T}為壹隨機過程，壹次過程的觀測可以視為隨機過程的壹個樣本函數 X1（t），第 i 次過程的觀測可視為隨機過程的第i 個樣本函數Xi（t）。n次試驗觀測的結果可得樣本函數X1（t），X2（t），…，Xn（t）。對於隨機過程 X（t），當 t 固定時，為壹個隨機變量，即隨機過程在 t 時刻的狀態。隨機變量 X（t），t∈T（t 固定）的所有可能取的值構成壹個實數集，稱為隨機過程的狀態空間或值域，而每壹個可能取的值稱為壹個狀態。
隨機過程可根據參數集T和狀態空間的情況進行分類，壹般地隨機過程可分為下列四類：
（1）離散參數、離散狀態隨機過程。
（2）離散參數、連續狀態隨機過程。
（3）連續參數、離散狀態隨機過程。
（4）連續參數、連續狀態隨機過程。
1.3.1 有限維分布族
隨機過程{X（t），t∈T}在每壹時刻 t 的狀態是壹維隨機變量，在任意兩個時刻的狀態是二維隨機變量。隨機過程的統計特征可用其不同固定時刻的不同維隨機變量（矢量）的分布的全體來表示。
對任意固定的t∈T，
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稱為隨機過程X（t）在t時刻的壹維分布函數。
對於任意兩個固定的t1，t2∈T
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稱為隨機過程X（t）的二維分布函數。
壹般地，對於任意固定的t1，t2，…，tn∈T，
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稱為隨機過程X（t）的n維分布函數。
隨機過程X（t）的壹維分布函數，二維分布函數，…，n維分布函數的全體稱為隨機過程的有限維分布函數族。
1.3.2 隨機過程的數字特征
隨機過程的數字特征是通過隨機過程的有限維分布函數的數字特征來刻畫，由於隨機過程{X（t），t∈T}在每壹個 t∈T 的狀態是壹個隨機變量，有其對應的數字特征。隨 t 的不同取值，隨機變量的數字特征是可以不同的，它的數學期望和方差是依賴於參數 t 的函數，我們稱這壹函數為隨機過程的數字特征。設隨機過程 X（t）t∈T 的數學期望用mX（t）表示，則有：
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式中：F（x，t）——隨機過程的壹維分布函數。
若F（x，t）為連續函數，則有：
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式中：f（x，t）——壹維分布密度函數。
如圖1.15所示，當樣本曲線數增加到壹定數量後，mX（t）基本為壹條固定曲線，而樣本曲線圍繞其上下波動。
設隨機過程X（t）t∈T的方差用DX（t）表示，則有：
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而σX（t）=稱為隨機過程的標準差。
隨機過程的方差也是過程t的函數，它反映了每壹個樣本曲線對均值曲線mX（t）的偏離程度。
在分析實際工程問題時，隨機過程的均方值具有物理意義，隨機過程的均方值用ΨX（t）表示，則有：
圖1.15
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從而有：
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隨機過程的均值函數和方差函數只考慮了隨機過程在任壹時刻狀態的數字特征，但對隨機過程在不同時刻狀態之間的相關關系的分析，必須有隨機過程協方差函數和相關函數的概念。
隨機過程X（t）在任意兩個時刻t1，t2∈T，X（t1）和X（t2）是兩個隨機變量，它們之間線性聯系的密切程度可用相關函數：
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描繪。
X（t1）與X（t2）的協方差稱為隨機過程X（t）的（自）協方差函數，記為CX（t1，t2），即：
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如果兩個隨機過程的方差相同，可以用協方差函數絕對值的大小比較兩個過程在時刻t1，t2狀態的線性聯系密切程度。如圖1.16（a）和（b）所示的兩個隨機過程的數學期望和方差相同，但（a）過程在不同時刻的線性聯系程度要小於（b）過程。
協方差函數還可以表示為：
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相關函數可以表示為：
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隨機過程X（t）的協方差函數和相關函數的關系為：
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圖1.16
當隨機過程的mX（t）=0時，
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當t1=t2時，
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不難看出，數學期望和相關函數是隨機過程兩個最基本的數字特征，協方差函數和方差可從它們中獲得。
在眾多類型的隨機過程中，正態（隨機）過程（高斯過程）在工程中十分常見，也十分重要和有用。
如果隨機過程{X（t），t∈T}的有限維概率分布是壹維或多維正態分布：即對 n≥1，任意的 t1，t2，…，tn∈T，有：
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式中：x=（x1，x2，…，xn）T
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則稱X（t）是正態（隨機）過程或Gauss過程。
1.3.3 兩個隨機過程的聯合分布
在工程技術中，經常需要同時考慮兩個或兩個以上隨機過程的統計特性，如對於壹個地下水系統而言，大氣降水的補給量P（t）是壹個隨機過程，對應的地下水系統響應（如泉流量或水位動態）也是壹個隨機過程。我們經常要研究地下水系統輸入隨機過程與響應（輸出）隨機過程之間的關系，從而涉及研究兩個隨機過程的情形。
設 X（t），Y（t）（t∈T）是兩個隨機過程，則稱{（X（t），Y（t）}T，t∈T}為二維隨機過程。
對於任意的m≥1，有t1，t2，…，tm∈T，t1′，t2′，…，tn′∈T，作m+n維隨機矢量（X（t1），X（t2），…，X（tm））的聯合分布函數：
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稱為二維隨機過程（X（t），Y（t））T的m+n維（聯合）分布函數。
對於隨機過程X（t），Y（t），t∈T，固定t1，t2∈T，則：
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為隨機過程X（t），Y（t）的互相關函數。