当前位置 - 股票行情交易網 - 裝修設計 - 如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為1，點M在BC上，△AMC1是以M為直角頂點的等腰直角三角形．（1）求證

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為1，點M在BC上，△AMC1是以M為直角頂點的等腰直角三角形．（1）求證

解答：（1）證明：∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，有CC1⊥底面ABC，AM?面ABC，

∴CC1⊥AM，…（1分）

又∵△AMC1是以點M為直角頂點的等腰直角三角形，

∴AM⊥MC1且AM=MC1

∵CC1∩C1M=C1，

∴AM⊥面CC1M，…（2分）

∵BC?面CC1M，

∴AM⊥BC，…（3分）

∵底面ABC是邊長為1的正三角形，

∴點M為BC中點．…（4分）

（2）解法壹：過點B作BH⊥C1M，交其延長線於H，

由（1）知AM⊥C1M，AM⊥CB，

∴AM⊥平面C1CBB1，

∴AM⊥BH，∴BH⊥平面AMC1，

∴BH為點B到平面AMC1的距離，…（6分）

∴AM=C1M=

3
2
，

在Rt△CC1M中，解得CC1=

2
2
，…（7分）

∵△BHM∽△C1CM，

∴

BH
CC1
＝
BM
C1M
，∴
BH
2
2
＝
1
2
3
2
，

解得BH=

6
6
．…（9分）

（2）解法二：設點B到平面AMC1的距離為h．

則VB?AMC1＝VA?BMC1，…（5分）

由（I）知?AM⊥C1M，AM⊥CB，

∴AM⊥平面C1CBB1…（6分）

∵AB=1，BM=

1
2
，∴AM=MC1=
3
2
，CC1=
2
2
，…（7分）

∴

1
3
S△AMC1?h＝
1
3
S△C1MB?AM，…（8分）

∴

1
3
×
1
2
×
3
2
×
3
2
h＝
1
3
×
1
2
×
2
2
×
3
2
，

解得h=

6
6
．…（9分）

（3）解法壹：過M作MH⊥AC於H，作MG⊥AC1於G，連結GH．

∵平面AC1⊥平面ABC，且面AC1∩面ABC=AC，

又MH?面ABC，MH⊥AC，∴MH⊥面AC1，∴MH⊥AC1，

又∵MG⊥AC1，且MH∩MG=M，

∴AC1⊥面MHG，∴AC1⊥GH，

故∠MGH為二面角M-AC1-C的平面角，…（11分）

由（1）知MH=

1
2
AM=
3
4
，

在等腰直角三角形AMC1中，MG=

2
2
AM＝
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