讀《復雜》之“復雜性科學”
力學分為運動學和動力學兩部分。運動學描述物體如何運動，即運動學定律；動力學解釋物體為何遵循運動學定律。牛頓頓的三大定律是動力學的基礎，根據牛頓的動力學定律，任何事物的發展軌跡都是可以被預測，他描繪的“鐘表宇宙”設置好初始狀態，然後遵循牛頓三大定律壹直運行下去，預測未來變為可能。據此理論推導，復雜性系統是可以被精確預測的。
但是，“混沌”的發現給“精確預測”沈重打擊。混沌指的是指壹些系統對於初始條件有敏感性依賴，極其微小的偏差，都會對長期預測產生巨大的誤差，這類系統稱為混沌系統。歷史上，第壹個混沌系統例子是龐加萊試圖解決的“三體問題”時發現的對初始條件的敏感性依賴。
混沌系統對初始條件的敏感性依賴，導致其不確定性和不可預測性。那是什麽因素導致系統對初始條件的敏感性依賴？ 非線性 。
線性系統中部分之和等於整體，非線性系統中部分之和不等於系統。生物種群數量發展系統就是壹個非線性系統，與線性系統不同的是，種群數量受到出生率，死亡率，以及環境最大承載力的限制。
比如壹種方案是壹定數量的兔子放在壹島上繁衍，第二種方案是同樣數量的兔子分開兩部分，分別在兩個島上繁衍，幾年後，第二種方案的兔子總量會大於第壹種方案。這是因為環境承載力因素導致了系統非線性。研究種群數量常用“邏輯斯蒂模型"來描述種群數量的增長。
“邏輯斯蒂映射”是動力系統理論和混沌研究中最著名的方程，它抓住了混沌的本質“對初始條件的敏感性依賴。”
x_(n+1) = R * x_n * (1-x_n)
當R=2時x_n的時會最終停在0.5，不再變化，0.5即為不動點。
同樣R的值增加(R=2.1,2.2,2.3等等)，X_n的值最終都會停在壹個對應的不動點，如0.6,0.7,0.8等
當R=3.1時，X最終會在兩個值之間振蕩，系統周期為2.
當R=3.4時，X最終會在四個值之間振蕩，系統周期為4.
當R=3.54和3.55之間的某個值，時振蕩周期變為8
.........
周期壹次又壹次倍增，前後R的間隔也越來越小。
當R等於大約3.569946時，X的值不再進入振蕩，變為混沌。
以上三種X值的最終狀態分別稱為：不動點，周期，混沌。
邏輯斯蒂映射非常簡單，而且完全確定性，卻可以產生混沌。
邏輯蒂映射映射從數學理論推導出混沌本質上具有普適性：
壹、通往混沌的倍周期之路
? 如上述的隨著R值變化，X值從不動點，然後是2周期振蕩，4周期，8周期，壹直下去，直到混沌。
二、費根鮑姆常數
當R = 3.569946時，X值出現混沌。這個數學常量在實際物理動力系統中得到證實，包括流體，電路，激光和化學反應。
我們對混沌系統有了新的認識：
混沌的行為有可能來自確定性的系統，無須外部的隨機源。
簡單的確定性系統的長期變化，由於對初始條件的敏感依賴性，即使在原則上也無法預測。
混沌系統具有普適性，雖然在無法精確預測，但在更高層面上混沌系統卻是可以預測的。