求壹份南通大學離散數學期末考試試題，最好是去年的？

離散數學考試試題（A卷及答案）

壹、（10分）某項工作需要派A、B、C和D 4個人中的2個人去完成，按下面3個條件，有幾種派法？如何派？

(1)若A去，則C和D中要去1個人；

(2)B和C不能都去；

(3)若C去，則D留下。

解 設A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。則根據題意應有：A?C?D，?(B∧C)，C?D必須同時成立。因此

(A?C?D)∧?(B∧C)∧(C?D)

∨(C∧? D∧?B∧?C)∨(C∧? D∧?B∧?D)∨(C∧? D∧?C)∨(C∧? D∧?C∧?D)

∨(?C∧D∧?B∧?C)∨(?C∧D∧?B∧?D)∨(?C∧D∧?C)∨(?C∧D∧?C∧?D)

故有三種派法：B∧D，A∧C，A∧D。

二、（15分）在謂詞邏輯中構造下面推理的證明：某學術會議的每個成員都是專家並且是工人，有些成員是青年人，所以，有些成員是青年專家。

解：論域：所有人的集合。 ( )： 是專家； ( )： 是工人； ( )： 是青年人；則推理化形式為：

( ( )∧ ( ))， ( ) ( ( )∧ ( ))

下面給出證明：

(1) ( ) P

(2) (c) T(1)，ES

(3) ( ( )∧ ( )) P

(4) ( c)∧ ( c) T(3)，US

(5) ( c) T(4)，I

(6) ( c)∧ (c) T(2)(5)，I

(7) ( ( )∧ ( )) T(6) ，EG

三、（10分）設A、B和C是三個集合，則A?B?(B?A)。

證明：A?B?x(x∈A→x∈B)∧?x(x∈B∧x?A)?x(x?A∨x∈B)∧?x(x∈B∧x?A)

x(x∈A∧x?B)∧?x(x?B∨x∈A)x(x∈A∧x?B)∨?x(x∈A∨x?B)

四、（15分）設A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元關系，且R＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R)。

解 r(R)＝R∪IA＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>}

s(R)＝R∪R－1＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，2>，<4，2>，<4，3>}

R2＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}

R3＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<5，4>}

R4＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}＝R2

t(R)＝ Ri＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<2，2>，<5，1>，<5，4>，<5，5>}。

五、（10分）R是非空集合A上的二元關系，若R是對稱的，則r(R)和t(R)是對稱的。

證明 對任意的x、y∈A，若xr(R)y，則由r(R)＝R∪IA得，xRy或xIAy。因R與IA對稱，所以有yRx或yIAx，於是yr(R)x。所以r(R)是對稱的。

下證對任意正整數n，Rn對稱。

因R對稱，則有xR2y?z(xRz∧zRy)?z(zRx∧yRz)?yR2x，所以R2對稱。若 對稱，則x y?z(x z∧zRy)?z(z x∧yRz)?y x，所以 對稱。因此，對任意正整數n， 對稱。

對任意的x、y∈A，若xt(R)y，則存在m使得xRmy，於是有yRmx，即有yt(R)x。因此，t(R)是對稱的。

六、（10分）若f：A→B是雙射，則f－1：B→A是雙射。

證明 因為f：A→B是雙射，則f－1是B到A的函數。下證f－1是雙射。

對任意x∈A，必存在y∈B使f(x)＝y，從而f－1(y)＝x，所以f－1是滿射。

對任意的y1、y2∈B，若f－1(y1)＝f－1(y2)＝x，則f(x)＝y1，f(x)＝y2。因為f：A→B是函數，則y1＝y2。所以f－1是單射。

綜上可得，f－1：B→A是雙射。

七、（10分）設<S，*>是壹個半群，如果S是有限集，則必存在a∈S，使得a*a＝a。

證明 因為<S，*>是壹個半群，對任意的b∈S，由*的封閉性可知，b2＝b*b∈S，b3＝b2*b∈S，…，bn∈S，…。

因為S是有限集，所以必存在j＞i，使得 ＝ 。令p＝j－i，則 ＝ * 。所以對q≥i，有 ＝ * 。

因為p≥1，所以總可找到k≥1，使得kp≥i。對於 ∈S，有 ＝ * ＝ *( * )＝…＝ * 。

令a＝ ，則a∈S且a*a＝a。

八、（20分）（1）若G是連通的平面圖，且G的每個面的次數至少為l(l≥3)，則G的邊數m與結點數n有如下關系：

m≤ (n－2)。

證明 設G有r個面，則2m＝ ≥lr。由歐拉公式得，n－m＋r＝2。於是， m≤ (n－2)。

（2）設平面圖G＝<V，E，F>是自對偶圖，則| E|＝2(|V|－1)。

證明 設G*＝<V*，E*>是連通平面圖G＝<V，E，F>的對偶圖，則G*? G，於是|F|＝|V*|＝|V|，將其代入歐拉公式|V|－|E|＋|F|＝2得，|E|＝2(|V|－1)。

離散數學考試試題（B卷及答案）

壹、（10分）證明(P∨Q)∧(P?R)∧(Q?S) S∨R

證明 因為S∨R?R?S，所以，即要證(P∨Q)∧(P?R)∧(Q?S) ?R?S。

(1)?R 附加前提

(2)P?R P

(3)?P T(1)(2)，I

(4)P∨Q P

(5)Q T(3)(4)，I

(6)Q?S P

(7)S T(5)(6)，I

(8)?R?S CP

(9)S∨R T(8)，E

二、（15分）根據推理理論證明：每個考生或者勤奮或者聰明，所有勤奮的人都將有所作為，但並非所有考生都將有所作為，所以，壹定有些考生是聰明的。

設P(e)：e是考生，Q(e)：e將有所作為，A(e)：e是勤奮的，B(e)：e是聰明的，個體域：人的集合，則命題可符號化為：?x(P(x)?(A(x)∨B(x)))，?x(A(x)?Q(x))，?x(P(x)?Q(x)) ?x(P(x)∧B(x))。

(1)?x(P(x)?Q(x)) P

(2)?x(?P(x)∨Q(x)) T(1)，E

(3)?x(P(x)∧?Q(x)) T(2)，E

(4)P(a)∧?Q(a) T(3)，ES

(5)P(a) T(4)，I

(6)?Q(a) T(4)，I

(7)?x(P(x)?(A(x)∨B(x)) P

(8)P(a)?(A(a)∨B(a)) T(7)，US

(9)A(a)∨B(a) T(8)(5)，I

(10)?x(A(x)?Q(x)) P

(11)A(a)?Q(a) T(10)，US

(12)?A(a) T(11)(6)，I

(13)B(a) T(12)(9)，I

(14)P(a)∧B(a) T(5)(13)，I

(15)?x(P(x)∧B(x)) T(14)，EG

三、（10分）某班有25名學生，其中14人會打籃球，12人會打排球，6人會打籃球和排球，5人會打籃球和網球，還有2人會打這三種球。而6個會打網球的人都會打另外壹種球，求不會打這三種球的人數。

解 設A、B、C分別表示會打排球、網球和籃球的學生集合。則：

|A|＝12，|B|＝6，|C|＝14，|A∩C|＝6，|B∩C|＝5，|A∩B∩C|＝2，|(A∪C)∩B|＝6。

因為|(A∪C)∩B|＝(A∩B)∪(B∩C)|＝|(A∩B)|＋|(B∩C)|－|A∩B∩C|＝|(A∩B)|＋5－2＝6，所以|(A∩B)|＝3。於是|A∪B∪C|＝12＋6＋14－6－5－3＋2＝20， ＝25－20＝5。故，不會打這三種球的***5人。

四、（10分）設A1、A2和A3是全集U的子集，則形如 Ai?(Ai?為Ai或 )的集合稱為由A1、A2和A3產生的小項。試證由A1、A2和A3所產生的所有非空小項的集合構成全集U的壹個劃分。

證明 小項***8個，設有r個非空小項s1、s2、…、sr(r≤8)。

對任意的a∈U，則a∈Ai或a∈ ，兩者必有壹個成立，取Ai?為包含元素a的Ai或 ，則a∈ Ai?，即有a∈ si，於是U? si。又顯然有 si?U，所以U＝ si。

任取兩個非空小項sp和sq，若sp≠sq，則必存在某個Ai和 分別出現在sp和sq中，於是sp∩sq＝?。

綜上可知，{s1，s2，…，sr}是U的壹個劃分。

五、（15分）設R是A上的二元關系，則：R是傳遞的?R*R?R。

證明 (5)若R是傳遞的，則<x，y>∈R*R?z(xRz∧zSy)?xRc∧cSy，由R是傳遞的得xRy，即有<x，y>∈R，所以R*R?R。

反之，若R*R?R，則對任意的x、y、z∈A，如果xRz且zRy，則<x，y>∈R*R，於是有<x，y>∈R，即有xRy，所以R是傳遞的。

六、（15分）若G為連通平面圖，則n－m＋r＝2，其中，n、m、r分別為G的結點數、邊數和面數。

證明 對G的邊數m作歸納法。

當m＝0時，由於G是連通圖，所以G為平凡圖，此時n＝1，r＝1，結論自然成立。

假設對邊數小於m的連通平面圖結論成立。下面考慮連通平面圖G的邊數為m的情況。

設e是G的壹條邊，從G中刪去e後得到的圖記為G?，並設其結點數、邊數和面數分別為n?、m?和r?。對e分為下列情況來討論：

若e為割邊，則G?有兩個連通分支G1和G2。Gi的結點數、邊數和面數分別為ni、mi和ri。顯然n1＋n2＝n?＝n，m1＋m2＝m?＝m－1，r1＋r2＝r?＋1＝r＋1。由歸納假設有n1－m1＋r1＝2，n2－m2＋r2＝2，從而(n1＋n2)－(m1＋m2)＋(r1＋r2)＝4，n－(m－1)＋(r＋1)＝4，即n－m＋r＝2。

若e不為割邊，則n?＝n，m?＝m－1，r?＝r－1，由歸納假設有n?－m?＋r?＝2，從而n－(m－1)＋r－1＝2，即n－m＋r＝2。

由數學歸納法知，結論成立。

七、（10分）設函數g：A→B，f：B→C，則：

(1)fog是A到C的函數；

(2)對任意的x∈A，有fog(x)＝f(g(x))。

證明 (1)對任意的x∈A，因為g：A→B是函數，則存在y∈B使<x，y>∈g。對於y∈B，因f：B→C是函數，則存在z∈C使<y，z>∈f。根據復合關系的定義，由<x，y>∈g和<y，z>∈f得<x，z>∈g*f，即<x，z>∈fog。所以Dfog＝A。

對任意的x∈A，若存在y1、y2∈C，使得<x，y1>、<x，y2>∈fog＝g*f，則存在t1使得<x，t1>∈g且<t1， y1>∈f，存在t2使得<x，t2>∈g且<t2，y2>∈f。因為g：A→B是函數，則t1＝t2。又因f：B→C是函數，則y1＝y2。所以A中的每個元素對應C中惟壹的元素。

綜上可知，fog是A到C的函數。

(2)對任意的x∈A，由g：A→B是函數，有<x，g(x)>∈g且g(x)∈B，又由f：B→C是函數，得<g(x)，f(g(x))>∈f，於是<x，f(g(x))>∈g*f＝fog。又因fog是A到C的函數，則可寫為fog(x)＝f(g(x))。

八、（15分）設<H，*>是<G，*>的子群，定義R＝{<a，b>|a、b∈G且a－1*b∈H}，則R是G中的壹個等價關系，且[a]R＝aH。

證明 對於任意a∈G，必有a－1∈G使得a－1*a＝e∈H，所以<a，a>∈R。

若<a，b>∈R，則a－1*b∈H。因為H是G的子群，故(a－1*b)－1＝b－1*a∈H。所以<b，a>∈R。

若<a，b>∈R，<b，c>∈R，則a－1*b∈H，b－1*c∈H。因為H是G的子群，所以(a－1*b)*(b－1*c)＝a－1*c∈H，故<a，c>∈R。

綜上可得，R是G中的壹個等價關系。

對於任意的b∈[a]R，有<a，b>∈R，a－1*b∈H，則存在h∈H使得a－1*b＝h，b＝a*h，於是b∈aH，[a]R?aH。對任意的b∈aH，存在h∈H使得b＝a*h，a－1*b＝h∈H，<a，b>∈R，故aH?[a]R。所以，[a]R＝aH。

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