抽象代數因子分解與域的擴展
我們知道，整數環中的每壹個合數都可以唯壹地分解成素數的乘積； 域 F 上每個次數大於零的可約多項式，都可以唯壹地分解成不可約多項式的乘積。這是整數環和多項式環中元素的最基本最重要的性質之壹。下面我們將把整數環和多項式環的壹些性質推廣到更壹般通用的環上去。
環的直和分解將大環分解為小環，使得結構更加簡單。從整數的算術基本定理得到啟發，我們還可以從乘法分解的角度來研究環。要使這個定向研究得到有用的結論，還需對環作壹些限制。既然我們關註是因子，乘法順序就顯得多余且礙事，所以要求環是可交換的。另外零因子的討論也是沒有意義的，故規定所有非零元素都是正則元。故我們只需討論整環中元素的乘法分解，為簡化描述，以下將忽略對零元素的討論。
和初等數論中壹樣，若 ，稱 b 整除 a，或 b 是 a 的 因子 ，記作 ，否則記作 。關於整除的常規討論都比較簡單，這裏不再贅述。我們把註意力放在分解的多種可能性上，最後試圖得到類似算術基本定理的結論。在分解的過程中，可逆元總是可以隨處出現或消除，它就像整數環中的±1，並不影響分解的本質。這就是為什麽可逆元 也叫 單位 ，如果 ，我們 a, b 稱是 相伴 的，相伴元在分解中可以可作是等價的，相伴還有壹種等價定義：如果 ，同時 ，則稱 a, b 是 相伴 的。既然要考慮可逆元，就必須要求乘法存在單位元，故以下討論僅針對有單位元的整環。
對任意元素 ，它的所有相伴元和單位都是 a 的 平凡因子 ，其它的則是 真因子 。有真因子的元素叫 可約元 ，否則叫不可約元，顯然整數環的不可約元就是素數。有了因子和不可約元的定義，我們就可以嘗試模仿算術基本定理了。通過這裏的討論，妳會明白算術基本定理的確不是顯而易見的，它是需要壹定條件的。首先每個元素都要有有限分解，其次分解在相伴元的意義下要是唯壹的，滿足這兩個條件的元素稱為可 唯壹分解 的，所有元素滿足條件的環就叫 唯壹分解環 。由於環的元素沒有大小的概念，無限分解是可能的，而且容易舉出有多種分解的例子。
? 討論 的單位及 9 在其中的分解。
現在我們的問題自然是，什麽樣的環才是唯壹分解環？先來看看唯壹分解環的性質，對不可約元p如果有 ，則由唯壹分解性容易證明， 和 至少有壹個成立。現在把這個概念抽取出來，滿足以上條件的元素稱為環的 素元 ，素元肯定是不可約元，唯壹分解環中的不可約元都是素元。對於壹般的環，當素元和不可約元重合時，可以由反證法得知，只能有限分解的元素是唯壹分解的。從而壹個環唯壹分解的充要條件就是，環的元素有限分解且素元和不可約元等價。
得到唯壹分解環後，可以同初等數論中壹樣定義公約數。若 c 是 ***同的因子，則稱c為它們的公因子。環的元素沒有大小的概念，所以不好直接定義最大公因子，回顧最大公約數的多個等價定義，找壹個僅使用了整除的定義即可。如果 d 是 的公因子，且任何公因子都是 d 的因子，稱 d 為 最大公因子 ，最大公因子為單位的元素稱為 互素 的。最大公因子不壹定存在，但對於唯壹分解環，容易得到最大公因子的存在性。
素元的定義壹定程度上就是唯壹分解本身，這個判斷條件並不能帶給我們更多有用的信息，判斷和構造唯壹分解環仍然不是壹件容易的事情。整數環中引入帶余除法後，可以得到最大公約數的更多性質，這些性質也能得到算術基本定理。但由於壹般環中沒有大小的概念，這些性質不壹定成立，但卻啟發了我們如何構造更壹般的唯壹分解環。這裏介紹兩個重要的唯壹分解環，它們的定義中都有著整數環最大公約數的影子。
整數環的任何理想都有壹個最小數，這個數是理想的最大公約數，且它的所有倍數都在理想中，即該理想是其最大公約數生成的主理想。任何理想都是主理想的環被稱為 主理想環 。主理想環首先保證了分解的有限性，因為無限分解列的生成理想也是主理想，該主理想的生成元既是分解列的結尾。另外，設主理想環R中的不可約元 ，考察 ，容易證明它必是極大理想。從而商環 為域，而 ，故必有 或 ，即 或 。這樣就證明了，主理想環是唯壹分解環。
? 求證高斯整數環是主理想環。（提示：考察絕對值最小的元素）
研究唯壹分解環更直接的方法當然是在環R中定義帶余除法，為此定義壹個從非零元素到正整數的映射φ，對環中的任何元素 存在 ，其中 或 。如果這樣映射存在，R 被稱為歐式環。若 且 在 N 中值最小，由定義容易證明N中的任何元素都以 a 為因子，從而 N 為主理想，進而 R 是唯壹分解環。
? 求證高斯整數環是歐式環；（提示：在 中逼近）
? 求證域上的多項式環 是歐式環。（提示：考慮階）
高斯整數環 是對整數環的擴充，它的元素是所有 形式的復數。 稱為 z 的 範數 ，容易證明範數有以下性質。上面的習題已經證明了高斯整數環是唯壹分解環，以此為例子，我們來簡單分析壹下這個環的分解情況。首先比較容易得到，G 的單位集合為 。接下來就是研究 的素元，為了區別起見，這裏先把整數環的素數叫做有理素數。
高斯整數環是整數環的子環，故每個高斯整數首先可以按照算術基本定理分解為有理素數之積。再由分解的唯壹性，素元必定是某個有理素數的因子，所以我們只需研究有理素數 p 的分解。p 的範數為 ，故它的因子不可能超過兩個，這就說明了 p 要麽自身為素元，要麽有兩個***軛素元 ，且 。進壹步地，其實就是研究不定方程 是否有解。
首先對唯壹的偶素數有 ，所以 2 不是素元，它有素因子 。對 p 為奇數的場景，可以得到 ，由初等數論的知識可知，等式成立的必要條件是 ，即 。所以當 時，p 本身就是素元。而當 時， 有解，從而 ，但是 ，所以 p 不是素元（註意 不壹定是素元）。
在結束環的討論之前，我們以多項式環為例來看看環理論的應用。高等代數中討論的是域上的多項式，這裏我們先從壹般的環開始，然後再在特殊的環中進行研究，妳會得到更高的視角看待多項式。之前我們已經給出過多項式環的定義，這裏進壹步研究多項式的根和因式分解。
對多項式 ，考慮將 帶入其表達式，得到的結果 叫 在 處的值，滿足 的 稱為多項式的 根 或 零點 。這裏要註意帶入的多項式必須是完全展開的，對非交換環 R，若 ，顯然不壹定有 ，當然這個等式對交換環是壹定成立的。為方便討論，把 的次數記作 ，顯然有以下關系式。當首相系數不是零因子時，還有 。
有了這些基本概念，我們接著討論根與多項式分解的關系。對域上的多項式 ，高等代數中使用除法，可以得到以下公式（3），且 唯壹。回顧計算過程，其實對含幺環上的多項式，只需要求 的首項系數是單位即可。所以這個結論對壹般含幺環也可以成立，只需選擇合適的 。特別地，對任意 ，如果取 ，則有 。將右邊展開並將 代入兩邊，整理後（ 與 可交換）得到 ，這就是 余數定理 （公式（4））。要註意這個證明中並不能直接將a代入，因為R不壹定是交換環。
接著上面的討論，當 a 是 的根時，可以得到 。反之如果 ，則有 ，在交換環中該式為 0（非交換環中不壹定成立）。這樣我們就有結論：交換含幺環中，有公式（5）的等價關系。再假設含幺環的多項式 的不同零點為 ，則首先有 。若為交換環，則有 ，若還為無零因子環，則 ，故 。以此類推，容易知道根的個數不大於多項式的次數 n，在 個不同的點值相同的多項式是唯壹的。總結就是：含幺整環上的多項式 最多有 個根。這個結論看似顯然，但每個條件都是不可或缺的，比如在四元數除環 H 中， 的根顯然不止壹個。
? 求證：在整數環上， 不可約。（提示：反證）
以上定理給出了含幺整環上的多項式的因式分解方法，但還有兩個問題需要解決。壹個就是如何找到根，目前還沒有壹般性的方法，這裏只介紹壹種求商域根的方法。設 為整環 的商域，考察 在 中的解 ，帶入方程並展開。如果假設 （這就要求整環是唯壹分解環），則有 且 。它可以作為方程解的篩選方法，比如求解整系數方程的有理解。
? 求多項式 的有理根。
另壹個問題就是如果有 ，該如何判定定 甚至確定 n 的值？當 時，n 稱為根 a 的 重數 ，特別地 時，a 稱為 重根 ，否則稱為 單根 。微積分中使用多項式的導數判斷重根，這個方法在環中還是可以成立的。我們把 稱為 的 形式微商 ，容易驗證在含幺整環中微商的壹般性質仍然成立。和微積分中壹樣，a為重根的充要條件是 ，壹直使用這個結論就還可以得到重數。另外由於域上的多項式環唯壹分解，若 ，則 沒有***同根，故 沒有重根。
多項式的因式分解壹般並不容易，但在常見數域中已經有壹些比較有用的結論。比如由代數基本定理（復變函數中介紹）可知，復數域上的多項式都可以分解為若幹個壹次因式。進而容易證明，實系數多項式根的***軛也是根（***軛運算的性質），所以實數域的多項式都可以分解為若幹個壹次和二次因式。而對有理數域上的多項式，都可以轉化成對整數環多項式的討論。下壹節中將給出求解有理根的方法，和判定多項式不可約的壹個充分條件，壹定程度可以幫助有理數域多項式的分解。
現在繼續討論多項式的因式分解，如果要考察其唯壹分解性，首先當然要求系數環R是唯壹分解環。分解中系數的公因子總可以先提取出來，系數公因子只有單位的多項式被稱為本原多項式，這個概念可以簡化討論。我們自然有個小問題，本原多項式的因式當然壹定是本源多項式，那麽反過來呢？本原多項式的積還是本原的嗎？結論是肯定的，觀察多項式乘積每壹項的組成形式（參考下圖），若 p 是乘積展開式的公因子，如圖考察 次項有 ，矛盾。這就證明了本原多項式的乘積也是本原多項式，該結論也叫高斯引理。
多項式 可以分解為 ，其中 為本原多項式。要證 的唯壹分解性，只需證 的唯壹分解性。由於 的階數有限，且其因式也是本原的，所以 上的分解首先壹定是有限的。現在只需討論唯壹性，前面的習題中已經得到，域上的多項式環是唯壹分解環，而每個整環都有其商域。為了考察唯壹分解環 R 上多項式環 ，可以借助 的商域的多項式環 的唯壹分解性。
對 中的不可約的本源多項式 ，在 中討論其分解性，當然我們只關註階數大於 的因式。如果在 中有 ，總可以添加壹些系數 ，使得等式（6）成立，其中 為 中的本原多項式。根據高斯引理， 也是本原多項式，容易證明 相伴，消去 即得 與 也相伴。這和 不可約矛盾，故 在 也是不可約的。從而如果本原多項式 有不同的分解方法，它們在 中也是不同的分解，這與 的唯壹分解性矛盾，我們得到的結論就叫 高斯定理 。
具體分解本原多項式 並沒有壹般方法，即使判斷本原多項式是否可約都是困難的，這裏只介紹壹個不可約的充分條件： 愛森斯坦判別法 （Eisenstein）。若存在素元 p 使得 但 ，參考高斯定理的證明方法，可判定本原多項式不可約。首先可以假定 ，由於 ，總可以找到 而 。考察 容易證 ，與條件矛盾，故 f(x) 不可約。
愛森斯坦判別法雖然不是不可約多項式的必要條件，但它對不可約本原多項式的判定非常有用，比如可以肯定任意次本原多項式都有不可約多項式 。值得壹提的是，容易驗證 與 的可約性是壹樣的，靈活使用這個變形有時可以構造出判別法的結構。
? 求證： 在唯壹分解環中不可約；
? 求證： 在有理數域中不可約；
? 求證： 在有理數域中不可約。
多元多項式環 有壹個特殊的子環 Σ，其中的每個元素都非常“對稱”。準確來講就是， 對 的任意置換都保持不變，這樣的多項式就叫做 對稱多項式 。在這些多項式中，有幾個是最基礎的（公式（7）），它們被稱為 基本對稱多項式 。這些式子也許妳並不陌生，這正是閉域上 n 次多項式方程的 韋達定理 ，它給出了方程根與系數的關系（公式（8））。
在中學妳多少都接觸過對稱多項式，我們這裏介紹它們的壹個漂亮結論。妳可以想象，將這 n 個元素帶入任何壹個 n 元多項式，得到的仍然是對稱多項式。我們的結論正是它的反命題：任何多項式 都可以用這 n 個元素的多項式表示，即公式（9）成立，以下證明過程其實也是生成多項式的構造過程。首先壹個對稱多項式可以按照項的次數分成幾個多項式之和 ，其中 中的每壹項的次數都是 k。容易證明 也是對稱多項式，壹般稱之為 齊次對稱多項式 ，基本多項式就是典型例子。如果我們能證明結論在齊次多項式中成立，則在壹般多項式中也成立。
為了便於討論，我們將 m 次齊次多項式 的項 以 進行字典排序。考慮到的 展開後的最大項為式子（10），可以反向構造 N使得其最大項與 的最大項 M 相等，兩式相減後的最大項壹定小於之前的最大項。這個過程可以在有限步後結束，構造出的所有 N 便是生成多項式的項， 對稱多項式基本定理 得證。這個結論對任意環 R 都是成立的，由證明過程還可以知道，當 R 為整環時生成多項式是唯壹的。
再回顧構造過程，每次選取的 的最大項的次數都是 m，故滿足條件（11）。根據這個結論，我們可以使用待定系數法更快地得到某個具體的生成多項式。比如 ，設 ，取 的不同值帶入，解方程組便得到生成多項式。
最後來討論壹下壹類常用的對稱多項式，它們是元素的 等冪和 ，我們需要知道它們和基本對稱多項式的關系。為了得到結論，以下設 ，充分利用韋達定理和 的形式特點，構造次數小於 n 的多項式 ，可以得到式（12）。比較等式兩邊的 n 次項，就得到著名的牛頓公式（公式（13）(14)），這個公式可以在 和 之間進行轉換。
域是壹種比較“完整”的結構，它的限制條件比較多，結構自然也就不是很多樣。現在我們來初步研究壹下域的結構，研究的方法當然是從小域向大域擴展，若 F 是 E 的子域，E 也叫 F 的 擴域 或 擴張 。擴張當然要從最簡單的域開始，我們比較熟悉的簡單域有哪些？最簡單的無窮域是有理數域，它是最小的數域，任何數域都包含有理數域；最簡單的有限域是整數在素數 p 下的剩余類域 。這兩種域都不再有真子域，我們把沒有真子域的域稱為 素域 ，壹般記作 。
那麽除了這兩種熟知的素域外，還有別的素域嗎？每個域都含有單位元 ，由 生成的域就是所有的素域，而它又是某個生成環的商域，故我們可以從 的生成環 討論起。當 時， 與整數環 Z 同構，從而它們的商域同構，即 。當 時，前面已經討論過，這樣的環 都同構於同余環 ，進而有 。這樣看來，同構意義的下的素域只有 Q 和 ，而且任何域都包含且僅包含壹個素域。
有了最簡單的域，接下來就開始對域進行擴張，並需要研究新添加元素的性質，以及擴域的結構特點。在F的擴域E中取子集S，F中添加S後生成的擴域記作 ，要註意這個定義總是以擴域E的存在為前提的。我們來討論這種擴域累加起來有什麽性質，考察 ，由定義知它是包含 的域，而 是包含 的最小域，故有 。同樣也可以推到 ，這樣就得到了公式（1）。
以上結論說明擴域 等價於有限步的局部擴張，而且擴張的順序不影響結果。對局部擴張的研究會有助於整個擴域，特別地我們可以先專註於 的擴域 ，它們被稱為 單擴域 。由域的定義及分式的特點，容易知道 中的元素都有格式 ，其中 為 F中的多項式。所有分式構成了單擴域，但不同分式是有可能指向相同元素的，下面我們就從這裏出發，研究單擴域的結構。
多項式是擴域中的基礎結構，對它的討論可以幫助我們分析域的結構。將 代入 F 中的所有多項式 ，得到的值可能兩兩不同，也可能出現重復。當出現重復時，將多項式相減就會得到 ，存在這樣多項式的 α 稱為 F 的 代數元 ，否則稱為 超越元 。代數元和超越元存在著本質的差異，需要從這個角度討論單擴域的結構。對於有理數域在實數域內的擴張，代數數就是代數元，超越數就是超越元，這裏實際上是對它們的擴展討論。
對於諸多滿足 的多項式，總可以找到次數最低的壹個首 1 多項式。容易證明對代數元 α，這個多項式存在且唯壹，它被稱為α在F上的最小多項式 。最小多項式的次數也被稱為代數元的次數，顯然F中元素的次數都為1。最小多項式有些簡單的性質，首先它在F上是不可約的，否則它必有壹個因子滿足 ，與最小多項式的定義矛盾。其次，對任何滿足 的多項式，必有 ，否則使用帶余除法可構造出次數更小的多項式滿足 。
圍繞著元素類型或最小多項式，單擴域的結構就比較明顯了。雖然直覺已經告訴了妳最終答案，但還是要用嚴格的推理來驗證猜想。推理方法當然是從定義合適的同態映射開始，先驗證生成環的同構，再推演到商域的同構，請自行驗證。當 α 為超越元時，生成環顯然和 同構，從而 同構於其商環 。當α為代數元時，可以證明生成環 同構於 ，由於 不可約，該表達式就是壹個域，故有 。從而代數元的單擴域就是以 為模的多項式環（公式（2）），這個結論展示了單代數擴域的簡潔結構，也說明了研究代數擴域的重要性。
以上的結果還表明，若 α 的次數為 n，則 的任何元素都是某個次數次數小於 n 的多項式的值 ，換句話說每個元素都是 在 F 上的線性組合，且容易證明表示法唯壹。用線性代數的語言就是，單代數擴域 是F上的壹個n維空間，空間的基為 。從這個角度分析單代數擴域也是很有用的。
在弄清楚單代數擴域的結構後，我們希望進壹步研究由更多代數元生成的擴域，或所有元素都是代數元的擴域。首先壹個自然的問題是，這兩種擴域壹樣嗎？為討論方便，我們定義後者為 代數擴域 ，含有超越元的擴域則叫 超越擴域 。由於代數擴域總是由代數元生成的，剛才的問題自然變成：由代數元集合 S 生成的擴域 是否壹定是代數擴域？直覺告訴我們這個結論是成立的，但仔細琢磨卻又不那麽明顯。現在我們分兩步來證明這個猜測，先考慮S為有限集的場景，然後再推廣到無窮集。
單代數擴域的線性空間結構提示我們研究更壹般擴域的維數，如果擴域 是 F 上的線性空間，這個空間的維數被稱為 E 在 F 上的 次數 ，記作 。 有限時，E 稱為 F 的 有限次擴域 ，否則叫 無限次擴域 。通過線性代數的簡單推演，我們可以得到次數的累加性（公式（3））。以有限次擴域為例，設E 在 K 上的基為 ，K 在 F 上的基為 ，容易證明 就是 E 在 F 上的基（用線性表示並證明無關性）。