拓樸是什麽
問題描述:
看到壹段文章，開始是”拓樸發現壹個奇特的現象”，請問拓樸是什麽
解析:
拓撲學的英文名是Topology，直譯是地誌學，也就是和研究地形、地貌相類似的有關學科。我國早期曾經翻譯成“形勢幾何學”、“連續幾何學”、“壹對壹的連續變換群下的幾何學”，但是，這幾種譯名都不大好理解，1956年統壹的《數學名詞》把它確定為拓撲學，這是按音譯過來的。
拓撲學是幾何學的壹個分支，但是這種幾何學又和通常的平面幾何、立體幾何不同。通常的平面幾何或立體幾何研究的對象是點、線、面之間的位置關系以及它們的度量性質。拓撲學對於研究對象的長短、大小、面積、體積等度量性質和數量關系都無關。
舉例來說，在通常的平面幾何裏，把平面上的壹個圖形搬到另壹個圖形上，如果完全重合，那麽這兩個圖形叫做全等形。但是，在拓撲學裏所研究的圖形，在運動中無論它的大小或者形狀都發生變化。在拓撲學裏沒有不能彎曲的元素，每壹個圖形的大小、形狀都可以改變。例如，前面講的歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題的時候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點和線的個數。這些就是拓撲學思考問題的出發點。
拓撲性質有那些呢？首先我們介紹拓撲等價，這是比較容易理解的壹個拓撲性質。
在拓撲學裏不討論兩個圖形全等的概念，但是討論拓撲等價的概念。比如，盡管圓和方形、三角形的形狀、大小不同，在拓撲變換下，它們都是等價圖形。左圖的三樣東西就是拓撲等價的，換句話講，就是從拓撲學的角度看，它們是完全壹樣的。
在壹個球面上任選壹些點用不相交的線把它們連接起來，這樣球面就被這些線分成許多塊。在拓撲變換下，點、線、塊的數目仍和原來的數目壹樣，這就是拓撲等價。壹般地說，對於任意形狀的閉曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的變換就是拓撲變幻，就存在拓撲等價。
應該指出，環面不具有這個性質。比如像左圖那樣，把環面切開，它不至於分成許多塊，只是變成壹個彎曲的圓桶形，對於這種情況，我們就說球面不能拓撲的變成環面。所以球面和環面在拓撲學中是不同的曲面。
直線上的點和線的結合關系、順序關系，在拓撲變換下不變，這是拓撲性質。在拓撲學中曲線和曲面的閉合性質也是拓撲性質。
我們通常講的平面、曲面通常有兩個面，就像壹張紙有兩個面壹樣。但德國數學家莫比烏斯(1790～1868)在1858年發現了莫比烏斯曲面。這種曲面就不能用不同的顏色來塗滿兩個側面。
拓撲變換的不變性、不變量還有很多，這裏不在介紹。
拓撲學建立後，由於其它數學學科的發展需要，它也得到了迅速的發展。特別是黎曼創立黎曼幾何以後，他把拓撲學概念作為分析函數論的基礎，更加促進了拓撲學的進展。
二十世紀以來， *** 論被引進了拓撲學，為拓撲學開拓了新的面貌。拓撲學的研究就變成了關於任意點集的對應的概念。拓撲學中壹些需要精確化描述的問題都可以應用 *** 來論述。
因為大量自然現象具有連續性，所以拓撲學具有廣泛聯系各種實際事物的可能性。通過拓撲學的研究，可以闡明空間的 *** 結構，從而掌握空間之間的函數關系。本世紀三十年代以後，數學家對拓撲學的研究更加深入，提出了許多全新的概念。比如，壹致性結構概念、抽象距概念和近似空間概念等等。有壹門數學分支叫做微分幾何，是用微分工具來研究取線、曲面等在壹點附近的彎曲情況，而拓撲學是研究曲面的全局聯系的情況，因此，這兩門學科應該存在某種本質的聯系。1945年，美籍中國數學家陳省身建立了代數拓撲和微分幾何的聯系，並推進了整體幾何學的發展。
拓撲學發展到今天，在理論上已經十分明顯分成了兩個分支。壹個分支是偏重於用分析的方法來研究的，叫做點集拓撲學，或者叫做分析拓撲學。另壹個分支是偏重於用代數方法來研究的，叫做代數拓撲。現在，這兩個分支又有統壹的趨勢。
拓撲學起初叫形勢分析學，這是G．W．萊布尼茨1679年提出的名詞。拓撲學這個詞(中文是音譯)是J．B．利斯廷1847年提出的，源自希臘文位置、形勢與學問。
1851年起，B．黎曼在復變函數的研究中提出，為了研究函數、研究積分，就必須研究形勢分析學。從此開始了拓撲學的系統研究。
組合拓撲學的奠基人是H．龐加萊。他是在分析學和力學的工作中，特別是關於復函數的單值化和關於微分方程決定的曲線的研究中，引向拓撲學問題。他探討了三維流形的拓撲分類問題，提出了著名的龐加萊猜想。
拓撲學的另壹淵源是分析學的嚴密化。實數的嚴格定義推動了G．康托爾從1873年起系統地展開了歐氏空間中的點集的研究，得出許多拓撲概念。如：聚點、開集、連通性等。在點集論的思想影響下，分析學中出現了泛函數(即函數的函數)的概念。把函數集看成壹種幾何對象並討論其中的極限，這終於導致了抽象空間的觀念。
拓撲問題的壹些初等例子：
柯尼斯堡七橋問題(壹筆劃問題)。壹個散步者怎樣才能走遍七座橋而每座橋只經過壹次?這個18世紀的智力遊戲，被L．歐拉簡化為用細線畫出的網絡能否壹筆劃出的問題，然後他證明了這是根本辦不到的。壹個網絡能否被壹筆畫出，與線條的長短曲直無關，只決定於其中的點與線的連接方式。設想壹個網絡是用柔軟而有彈性的材料制作的，在它被彎曲、拉伸後，能否壹筆畫出的性質是不會改變的。
歐拉的多面體公式與曲面的分類。歐拉發現，不論什麽形狀的凸多面體，其頂點數 、棱數 、面數 之間總有 這個關系。由此可證明正多面體只有五種。如果多面體不是凸的而呈框形（圖33），則不管框的形狀如何，總有 。這說明，凸形與框形之間有比長短曲直更本質的差別，通俗地說，框形裏有個洞。
在連續變形下，凸體的表面可以變成球面，框的表面可以變成環面（輪胎面）。這兩者都不能通過連續變形互變（圖34）。在連續變形下封門曲面有多少種不同類型？怎樣鑒別他們？這曾是19世紀後半葉拓撲學研究的主要問題。
紐結問題。空間中壹條自身不相交的封閉曲線，會發生打結現象。要問壹個結能否解開（即能否變形成平放的圓圈），或者問兩個結能否互變（如圖35中兩個三葉結能否互變）。同時給出嚴格證明，那遠不是件容易的事了。
布線問題（嵌入問題）。壹個復雜的網絡能否布在平面上而又不自相交叉？做印制電路時自然會碰到這個問題。圖36左面的圖，把壹條對角線移到方形外面就可以布在平面上。但圖37中兩個圖卻無論怎樣移動都不能布在平面上。1930年K?庫拉托夫斯基證明，壹個網絡是否能嵌入平面，就看其中是否不含有這兩個圖之壹。
以上這些例子說明，幾何圖形還有壹些不能用傳統的幾何方法來研究的性質。這些性質與長度、角度無關，它們所表現的是圖形整體結構方面的特征。這種性質就是圖形的所謂拓撲性質。