在分形光子晶格中觀察到的反常量子傳輸現象
分形是復雜的結構，通常表現出自相似性並具有非整數維數。術語“分形”是由著名數學家 Benoit B. Mandelbrot 首次引入的。他註意到，到處都有許多自然物體是分形的，如雪花、樹枝、海岸線等。在自然之外，分形圖案或結構也是人為創造的。壹種著名的分形類型，謝爾賓斯基墊片，不僅在古代被廣泛用於教堂的裝飾，而且在現代人工裝置工程中也被廣泛使用。迄今為止，分形特征已經在包括量子力學、光學、金融、生理學等廣泛領域中得到了報道。
分形外觀的美感源於自相似性。物理學家也對嵌入在這些非整數維度的非常規系統中的微妙物理定律感興趣。歐幾裏得幾何是整數維的，物理定律多是在整數維空間的情況下引入的。然而，異常現象可能會在不同的情況下發生。盡管近幾十年來有大量的理論和數值研究，但對分形空間中量子輸運的實驗研究仍然難以捉摸。
近日，上海交通大學金賢敏教授課題組與烏得勒支大學C. Morais Smith教授合作，對分形空間中的量子輸運動力學進行了實驗研究，並觀察到了異常現象。通過使用飛秒激光通過直接書寫技術，研究人員能夠制造出輪廓為分形的光子晶格。三種典型的分形，謝爾賓斯基墊片、謝爾賓斯基地毯和雙謝爾賓斯基地毯，被精確地映射到光子晶格。它們在豪斯多夫維數（即分形維數）或幾何學上是不同的。雙謝爾賓斯基地毯雖然繼承了謝爾賓斯基地毯的豪斯多夫尺寸，但它們的幾何形狀完全不同。三個分形之間的差異使研究人員能夠研究量子傳輸和分形之間的相互作用。
在研究中，量子遊走是經典隨機遊走的量子模擬，被用作研究量子傳輸的模型。光子被發射到光子晶格中以執行連續時間量子行走。晶格的長度決定了光子的演化時間。通過編寫具有增量長度的光子晶格，研究人員設法捕捉到光子在不同時刻的演化結果，從而揭示了量子傳輸動力學。均方位移 (MSD) 用於表征量子傳輸動力學。
結果表明，運輸動力學很難用單壹的制度來描述。它通常經歷幾個階段，如正常狀態、分形狀態和最終飽和，這與常規情況不同。值得強調的是，與 MSD 以二次方縮放的平移不變格子相比，MSD（在分形區域中）僅由 Hausdorff 維數決定。這種異常現象與 Fleischmann 等人的理論建議非常吻合。研究人員還通過在相當大的分數空間中進行模擬，並通過研究輸入位置（即光子發射到晶格的位置）上關系的獨立性，進壹步證實了所提出的關系的穩 健性。
該研究為更深入地理解分數空間中的物理定律鋪平了道路。除了對物理學的基本興趣之外，它還可能闡明量子力學是否在生物系統中的傳輸中發揮任何作用，例如分形狀的大腦層次結構和壹直發生能量傳輸或信息傳輸的分支樹。從量子算法方面，分形光子晶格的實現為基於連續時間量子遊走的量子空間搜索的實驗 探索 奠定了基礎。
更多信息: Mandelbrot, B. B. Fractals: Form, Chance and Dimension (W. H. Freeman, 1977)
Mandelbrot, B. B. The Fractal Geometry of Nature (W. H. Freeman, 1983)
Xu, X.-Y. et. al. Quantum transport in fractal network. Nat. Photon. (2021). DOI: 10.1038/s41566-021-00845-4
Fleischmann, R., Geisel, T., Ketzmerick, R. & Petschel, G. Quantum diffusion, fractal spectra, and chaos in semiconductor microstructures. Physica D 86, 171–181 (1995)